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极限的运算法则是什么?

发布于:2020-11-20 14:59:20发布者:天晴网友

运算法则是:设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a,对于任意正数ε(不论其多么小),都?N>0,使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立,那么就称常数a是数列{xn} 的极限,或称数列{xn}?收敛于a。

极限的思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想,是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。运算法则是:设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a,对于任意正数ε(不论其多么小),都?N>0,使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立,那么就称常数a是数列{xn} 的极限,或称数列{xn}?收敛于a。

为了排除极限概念中的直观痕迹,维尔斯特拉斯提出了极限的静态的抽象定义,给微积分提供了严格的理论基础。所谓xn→x,就是指:“如果对任何ε>0,总存在自然数N,使得当n>N时,不等式|xn-x|<ε恒成立”。这个定义,借助不等式,通过ε和N之间的关系,定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此,这样的定义应该是目前比较严格的定义,可作为科学论证的基础,至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中,涉及到的仅仅是‘数及其大小关系’,此外只是用给定、存在、任何等词语,已经摆脱了“趋近”一词,不再求助于运动的直观。(但是理解’极限‘概念不能够抛弃‘运动趋势’去理解, 否则容易导致’把常量概念不科学地进入到微积分’领域里)

常量可理解为‘不变化的量’。微积分问世以前,人们习惯于用静态图像研究数学对象,自从解析几何和微积分问世以后,考虑‘变化量’的运动思维方式进入了数学领域,人们就有数学工具对物理量等等事物变化过程进行动态研究。之后,维尔斯特拉斯,建立的ε-N语言,则用静态的定义描述变量的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的上升演变,反映了数学发展的辩证规律。

人们通过考察某些函数的一连串数不清的越来越精密的近似值的趋向,可以科学地把那个量的极准确值确定下来,这需要运用极限的概念和以上的极限思想方法。极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中,都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。

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