今天是3月14日。而圆周率π就约等于3.14，因此这一天被设为了圆周率日。世界各地的数学家和数学爱好者们欢聚一堂，歌颂赞美这个数学世界中的奇迹。
大家或许会好奇，π究竟哪点吸引人了，能够让数学家们对它痴迷到如此地步？其实，π本身的存在就是一个奇迹：不管一个圆有多大，它的周长和直径之比总是一个固定的数，它就是3.141592653589793…，是一个无限不循环小数。我们把这个数就叫做圆周率，用希腊字母π来表示。在几何问题中，圆周率扮演着非常重要的角色；然而更神奇的是，它也驰骋于几何以外的其它数学领域。
布丰投针实验
在地板上画一系列间距为2厘米的平行线，然后把一根长度为1厘米的针扔在地板上。那么，这根针与地板上的线条相交的概率是多少呢？1733年，法国博物学家布丰（Comte de Buffon）第一次提出了这个问题。1777年，布丰自己解决了这个问题——这个概率值是1/π。
这个问题可以用微积分直接求解，也能利用期望值的性质得到一个异常精妙的解答。即使我们现在已经能轻易求出它的答案，结论依然相当令人吃惊——在这个概率问题上，竟然也有π的踪影。有人甚至利用投针法，求出过π的近似值来。
斯特林近似公式
我们把从1开始一直连乘到n的结果称作“n的阶乘”，在数学中用n!来表示。也就是说：
1733年，数学家亚伯拉罕?棣莫弗（Abraham de Moivre）发现，当n很大的时候，有：
其中c是某个固定常数。不过棣莫弗本人并没有求出这个常数的准确值。几年后，数学家詹姆斯?斯特林（James Stirling）指出，这个常数c等于2π的平方根。也就是说：
这个公式就被称作斯特林近似公式。
伽马函数
阶乘运算本来是定义在正整数上的，但我们可以很自然地把它扩展到所有的正数上——只需要寻找一条经过所有形如（n, n!）的整格点的曲线就可以了。由此定义出来的函数就叫做伽马函数，用希腊字母Г来表示。好了，神奇的事情出现了。我们有这样一个结论：
π再次出现在了与几何毫无关系的场合中！
平方数的倒数和的极限
1的平方分之一，加上2的平方分之一，加上3的平方分之一，这样一直加下去，结果会怎样呢？这是一个非常吸引人的问题。
从上表中可以看到，越往后加，得数变化幅度就越小。可以预料，如果无穷地加下去，得数将会无限接近于某一个固定的数。这个数是多少呢？
1735年，大数学家欧拉（Euler）非常漂亮地解决了这一问题。神奇的是，这个问题的答案里竟然包含有π：
两个整数互质的概率
如果两个整数的最大公约数为1，我们就说这两个数是互质的。例如，9和14就是互质的，除了1以外它们没有其它的公共约数；9和15就不互质，因为它们有公共的约数3。可以证明这样一个令人吃惊的结论：任取两个整数，它们互质的概率是6/π2，恰好是上面一个问题的答案的倒数。在一个纯数论领域的问题中出现了圆周率，无疑给小小的希腊字母π更添加了几分神秘。
欧拉恒等式
这是整个数学领域中最伟大，最神奇的公式：
这个公式用加法、乘法、乘方这三个最基础的运算，把数学中最神奇的三个常数（圆周率π、自然底数e、虚数单位i）以及最根本的两个数（0和1）联系在了一起，没有任何杂质，没有任何冗余，漂亮到了令人敬畏的地步。这个等式也是由大数学家欧拉发现的，它就是传说中的欧拉恒等式（Euler’s identity）。《数学情报》杂志（The Mathematical Intelligencer）曾举办过一次读者投票活动，欧拉恒等式被评选为“史上最美的公式”。
然而，这些也都只是数学这个奇妙大世界的其中一角罢了。
（作者：matrix67）
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